Pravidelný šesťuholník a jeho vlastnosti

Definícia a konštrukcia

Pravý šesťhran je rovinná postava, ktorá má šesť rovnakých strán a rovných rovnakých uhlov.

Ak spomínam vzorec pre súčet uhlov mnohouholníka

180 ° (n-2),

potom sa ukazuje, že na tomto obrázku je 720 °. Pretože všetky uhly obrázka sú rovnaké, je ľahké vypočítať, že každý z nich sa rovná 120 °.

Nakreslite šesťuholník je veľmi jednoduchý, stačí na kompas a pravítko.

Pokyny krok za krokom budú vyzerať takto:

1. Priamka je nakreslená a bodka je umiestnená na nej;
2. od tohto bodu je vytvorený kruh (je to jeho centrum);
3. Z priesečníka kruhu s čiarou sú vytvorené ďalšie dva rovnaké, musia sa zbiehať v strede.
4. potom sú všetky body na prvom kruhu spojené postupne segmentmi.

Ak je to žiaduce, môžete to urobiť bez čiary, kreslenie piatich sa rovná v okruhu kruhov.

Takto získaný obrázok bude mať pravý šesťuholník, čo sa dá dokázať nižšie.

Vlastnosti sú jednoduché a zaujímavé

Aby sme pochopili vlastnosti pravidelného šesťuholníka, je rozumné ho rozdeliť na šesť trojuholníkov:

To pomôže neskôr vizuálne zobraziť jeho vlastnosti, z ktorých hlavné:

1. priemer ohraničenej kružnice;
2. priemer zapísaného kruhu;
3. area;
4. obvod.

Obmedzený kruh a možnosť konštruovania

Okolo hex môže opísať kruh a navyše iba jeden. Vzhľadom na to, že je tento údaj správny, je možné postupovať veľmi jednoducho: z dvoch priľahlých rohov natiahnite priečniky do vnútra. Pretínajú sa v bode O a tvoria spolu s bočnou stranou trojuholník.

Úhly medzi stranou šesťuholníka a bisektorov budú 60 °, takže môžeme jednoznačne povedať, že napríklad trojuholník je rovnoramenný trojuholník. A keďže tretí uhol je tiež rovný 60 °, je tiež rovnostranný. Z toho vyplýva, že segmenty OA a OB sú rovnaké, čo znamená, že môžu slúžiť ako polomer kruhu.

Po tom môžete prejsť na ďalšiu stranu a z rohu v bode C vytiahnuť aj bisectrix. Dostaneme ďalší rovnostranný trojuholník a strana AB bude bežná pre dvoch a OS - ďalší polomer, ktorým prechádza ten istý kruh. Celkovo existuje šesť takýchto trojuholníkov a budú mať spoločný vrchol v bode O. Ukázalo sa, že môžete opísať kruh a je to len jeden a jeho polomer sa rovná strane šesťuholníka:

R = a.

Preto je možné postaviť toto číslo pomocou kompasu a pravítka.

Plocha tohto kruhu bude štandardná:

S = πR²

Vložený kruh

Stred ohraničenej kružnice sa zhoduje so stredom zapísaného kruhu. Na overenie toho možno kresliť kolíky z bodu O do strán šesťuholníka. Budú to výšky tých trojúhelníkov, z ktorých je zložený hex. A v rovnoramennom trojuholníku je výška mediánom vzhľadom na stranu, na ktorej spočíva. Takže táto výška nie je nič iné ako stredná kolmica, čo je polomer zapísaného kruhu.

Výška rovnostranného trojuholníka sa vypočíta jednoducho:

h2 = a2- (a / 2) ² = a2 / 4, h = a (√3) / 2

A pretože R = a a r = h, ukáže to

r = R (√3) / 2.

Preto zapísaný kruh prechádza stredom strán bežného šesťuholníka.

Jeho oblasť bude:

S = 3πa² / 4,

to znamená tri štvrtiny opísaných.

Obvod a oblasť

S obvodom je všetko jasné, je to súčet dĺžok strán:

P = 6a, alebo P = 6R

Ale oblasť bude rovná súčtu všetkých šiestich trojuholníkov, na ktorých môžete zlomiť hex. Keďže je plocha trojuholníka vypočítaná ako polovica produkcie základne výškou, potom:

S = 6 (a / 2) (a (√3) / 2) = 6a2 (√3) / 4 = 3a2 (√3) alebo

S = 3R2 (√3) / 2

Ak chcete túto oblasť vypočítať v okruhu zapísaného kruhu, môžete to urobiť takto:

S = 3 (2r / 3) ² (√3) / 2 = r² (2√3)

Zábavné stavby

V hexadecku môžete zadať trojuholník, ktorého strany budú spojovať vrcholy cez jednu:

Celkovo budú dva, a navzájom sa prekrývajú, dajú Davidovu hviezdu. Každý z týchto trojúhelníkov je rovnostranný. To nie je ťažké vidieť. Ak sa pozriete na stranu AU, patrí k dvom trojuholníkom - YOU a AES. Ak v prvom z nich AB = BC a uhol medzi nimi je 120 °, potom každý z zostávajúcich bude 30 °. Z toho môžeme vyvodiť logické závery:

1. Výška ABC od vrcholu B sa rovná polovici strany šesťuholníka, pretože sin30 ° = 1/2. Tí, ktorí chcú byť presvedčení o tom, môžu byť upozornení, aby spočítavali podľa Pythagoreanskej vety, je to vhodné, ak je to možné.
2. Strana AS sa bude rovnať dvom polomerom zapísaného kruhu, ktorý sa opäť vypočíta podľa tej istej vety. To znamená, že AC = 2 (a (√3) / 2) = a (√3).
3. Trojuholníky ABC, CDE a AEF sú rovnaké na oboch stranách a uhol medzi nimi, a teda rovnosť strán AC, CE a EA nasleduje.

Pri prekročení sa trojuholníky vytvárajú nový šesťuholník a je tiež správny. Toto sa ukázalo jednoducho:

1. Uhol ABF sa rovná uhlu BAC. Takže výsledný trojuholník so základňou AB a neoznačeným vrcholom oproti nej je rovnoramenné.
2. Všetky rovnaké trojuholníky, ktorých základňa je strana šesťuholníka, sa rovnajú pozdĺž boku a rohov priliehajúcich k nej.
3. Trojuholníky na vrcholoch hex je rovnostranné a rovnaké, čo vyplýva z predchádzajúceho bodu.
4. Úhly novo vytvoreného šesťuholníka sú 360-120-60-60 = 120 °.

Takže číslo zodpovedá znakom pravidelného šesťuholníka - má šesť rovnakých strán a uhlov. Z rovnosti trojuholníkov s vrcholmi možno ľahko odvodiť dĺžku bočnú stranu novej šesťuholníka:

d = a (√3) / 3

Bude to polomer kruhu ohraničeného okolo neho. Polomer nápisu bude polovičný ako na strane veľkého šesťuholníka, čo bolo dokázané pri zvažovaní trojuholníka ABC. Jeho výška je len polovica strany, preto druhá polovica je polomer kruhu zapísaný v malom hexadecimálne:

r2 = a / 2

Oblasť nového šesťuholníka sa môže vypočítať nasledovne:

S = (3 (√3) / 2) (a (√3) / 3) ² = a (√3) / 2

Ukazuje sa, že plocha šesťhrannej hviezdy vo vnútri hviezdy Dávida je trikrát menšia ako plocha veľkého, v ktorej je hviezda napísaná.

Od teórie k praxi

Vlastnosti šesťuholníka sa veľmi aktívne používajú tak v prírode, ako aj v rôznych oblastiach ľudskej činnosti. Najmä to platí pre skrutky a matice - prvý a druhý uzávery nie sú nič viac než pravý šesťuholníka, ak nie, aby sa pri výpočte skosenie. Kľúč veľkosť zodpovedá priemeru vpísanej kružnice - to znamená vzdialenosť medzi protiľahlými plochami.

Našiel jeho použitie a šesťuholníkové dlaždice. Rozdeľuje sa oveľa menej kvadrangulárne, ale je vhodnejšie ju položiť: v jednom bode sú tri dlaždice zatvorené a nie štyri. Kompozície môžu byť veľmi zaujímavé:

K dispozícii je aj betónová dlažba na dlažbu.

Prevalencia šesťuholníka v prírode je jednoduchá. Najjednoduchším spôsobom je teda prispôsobenie kruhov a guľôčok v rovine, ak majú rovnaký priemer. Z tohto dôvodu majú medonosné včely takú formu.